সূচক ও লগারিদম(মিথ,বাস্তবতা এবং আরো)!☆L&E☆

সূচক ও লগারিদম==============

দাবার আবিষ্কার নিয়ে একটা বিখ্যাত মিথ আছে, অনেকটা এরকম:

"দাবা খেলা আবিষ্কারের পর (ধারণা করা হয় ইন্ডিয়াতে, কেউ কেউ মনে করেন চীনে) এর আবিষ্কারক সর্ব প্রথম সেখানকার রাজাকে দাবা’র সরঞ্জাম উপহার দেন এবং খেলার পদ্ধতি বুঝিয়ে দেন। এরপর থেকে সেই রাজা পুরোপুরি মজে যায় দাবার নেশায়; সারাদিন দাবা নিয়েই পড়ে থাকতেন। তো রাজা ঠিক করলেন আবিষ্কারককে এত চমৎকার একটা খেলা আবিষ্কারের জন্য পুরস্কৃত করবেন; তাই তিনি আবিষ্কারককে ডেকে এনে বললেন, “বল, কি চাও তুমি? যা চাইবে ,তাই দিব।” আবিষ্কারকও একটু রসিক ও গনিতবিশারদ , সে ভাবল মজা নেই একটু রাজার সঙ্গে, “ আমি যা চাই আপনি তা কখনই দিতে পারবেন না।” তাও রাজারা জোরাজুরিতে সে খোলাসা করে বলল, “রাজা মশাই, আপনি আমাকে প্রতিদিন কিছু ধানের দানা দিবেন, তবে শর্ত হচ্ছে প্রথমদিন ১ টা , ২য় দিন ২টা, ৩য় দিন ৪টা, ৪র্থ দিন ৮ টা …এভাবে দ্বিগুন করে বাড়তে বাড়তে দাবার ছকের ৬৪ ঘরের জন্য ৬৪ দিন দানা দিবেন, যদি পারেন আর কি

?” রাজা ভাবল এ আর এমন কী? তখনই খাজাঞ্জিকে ডেকে আদেশ দিয়ে দিলেন। কিন্তু বেশিদিন দেয়া সম্ভব হল না, কয়েকদিনের মাথায়ই পুরো রাজ্য ভান্ডার শেষ! রাজা হার মানল গনিতবিশারদের কাছে, গণিতবিদও ফিরিয়ে দিল ধান। অত:পর তাহারা সুখে শান্তিতে বসবাস করিতে লাগিল।"

রাজার ভান্ডার শেষ! এটা কি করে হল? আসলেই তাই হবে; প্রতিদিন দিগুন করে বাড়াতে থাকলে ৩০ দিনের মাথায় ধানের পরিমাণ দাঁড়াবে ১০৭ কোটি! আর ৬৪ দিন পরে সংখ্যা দাঁড়াবে… না,এ সংখ্যা লিখা সম্ভব নয়; শুধু জেনে রাখুন সেই পরিমাণ ধান দিয়ে আমাদের গ্যালাক্সির মত শত শত গ্যালাক্সি ঢেকে দেয়া সম্ভব!

এটাই সূচকের কেরামতি, আপনি বুঝার আগেই হুট করে আপনার পকেট কেটে চলে যাবে।



আসলে দৈনন্দিন জীবনের হিসেব নিকেশ সাধারনত ঐকিক নিয়ম কিংবা সমানুপাত হয় বলে, হুট করে সূচকের ক্ষমতা সম্বন্ধে আন্দাজ করা যায় না। তবে মহাবিশ্বের বড় বড় পরিসরে কিংবা অনু পরমাণুর ক্ষুদ্র জগতে খুবই কাজের জিনিস এই সূচক।

সাধারন সূচকীয় সমীকরণ(exponential equation) :y=a x ; এখানে, y হল x এর ফাংশন।

এই সূচক দিয়ে পৃথিবী, সূর্য, গ্যালাক্সির অতি বৃহৎ ব্যাস, বেগ থেকে শুরু করে অনু-পরমানুর অতি ক্ষুদ্র ব্যাস সবই খুব সহজেই প্রকাশ করা যায়। আবার সবকিছু সূচক দিয়ে প্রকাশ করাও বেশ কষ্টকর, সে ক্ষেত্রে আমরা লগারিদম ব্যবহার করি। 

লগারিদম দেখার আগে,বলুন তো, a 2 =100 হলে a এর মান কত? খুব সহজ তাই না? √a করে দিয়ে… কিন্তু যদি বলি 10x = 100 হলে, x কত? এটাও তো সোজা ( নাকি মুখস্ত)। 

তাহলে এবার বলুন, 10 x = 110 হলে x এর মান কত? এটা বের করা কিন্তু খুব একটা সোজা নয়। এখানেই লগারিদম বেশি ফলপ্রসূ।

লগারিদম (Logarithm) এর সংজ্ঞানুযায়ী,

y=a x হলে,

x=log a like emoticon (শর্ত : a>0, a≠1)

এখানে, x হল y এর a ভিত্তিক লগারিদম; a হল লগারিদম এর বেস (Base) বা ভিত্তি।

এই লগারিদম আসলে কি বোঝায়? x=log a like emoticon বলতে বুঝি, a এর ঘাত/সূচক (পাওয়ার) x হলে তা y এর সমান হবে। যেমন, log10 (100)=2 ; বলতে বুঝি, 10 এর ঘাত (পাওয়ার) 2 হলে 100 হবে, 100=10 2 (y=a x ) .

অর্থাৎ, y=a x এবং x=log a like emoticon একই সমীকরণ। প্রথমটিতে y কে x এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে, একে বলা হয় সূচকীয় (exponential) ফাংশন। পরেরটিতে x কে y এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে, একে বলা হয় লগারিদমিক (logarithmic) ফাংশন। তাহলে আমরা y=a x এর বিপরীত (Inverse) ফাংশন বের করতে পারি,

y=log a (x) (২য় ফাংশনে x এর পরিবর্তে y এবং y পরিবর্তে x বসিয়ে)।



একটা ব্যাপার খেয়াল করেছো কিনা যে লগারিদম ফাংশনে একটা শর্ত জুড়ে দেয়া আছে? সুচকীয় ফাংশনে কিন্তু কোন শর্ত ছিল না, তাহলে এখানে শর্তের প্রয়োজন কেন?

শর্তানুযায়ী লগারিদমের ভিত্তি (base) কখনও

ঋণাত্মক হতে পারে না, 1 ও হতে পারে না। ঋণাত্মক হলে কি সমস্যা ?

log –2 (-8)= 3 ( -2 এর ঘাত 3 হলে -8 ) কিংবা log-2 (4)=2; এইতো ঋণাত্মক হল!

আচ্ছা, তাহলে এটা কি হবে? log -2 (-4)= ? (-2 এর ঘাত কত হলে -4 হবে?)। আসলে, এটার বাস্তব সংখ্যায় কোন সমাধান নেই। তাহলে দেখা যাচ্ছে, একই ভিত্তির জন্য আমরা কিছু কিছু সংখ্যার জন্য সমাধান পেলেও সব সংখ্যার ক্ষেত্রে পাচ্ছি না। একটু ঝামেলা হয়ে গেল না? আর আমরা তো জানিই গনিত কখনই কোন ঝামেলাকে বরদাস্ত করতে পারে না। তাই গনিত করল কি, পুরো ঋণাত্মক সংখ্যার সেটই বাদ দিয়ে দিল লগারিদম হতে। অর্থাৎ কিছু কিছু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সম্ভব হওয়ার পরেও তারা লগারিদম হতে বাদ পড়ল; তাদের দোষ একটাই, তারা ঋণাত্মক (অসৎ সঙ্গে সর্বনাশ)। সেই সাথে বাদ পড়ল অঋণাত্মক( ধনাত্মকও না কিন্তু) সংখ্যা 0 ও। কারণ,

log0 (4)= ? অর্থাৎ 0 এর ঘাত কত হলে 4 এর সমান হবে! এও কি সম্ভব!

আচ্ছা তাহলে 1 কি দোষ করল, ওকেও কেন বাদ দেয়া হল? দেখা যাক,

log1 (4)= ? ; 1 এর ঘাত কত হলে 4 হবে? আদৌ সম্ভব? কিংবা,

log1 (1)= ? ; 1 এর ঘাত কত হলে 1 হবে? আরে 1 এর ঘাত যেকোন সংখ্যা হলেই তা 1 হবে, তার মানে এর সমাধান সকল সংখ্যা? তাহলে সকল সংখ্যাই সমান? শেষমেষ এও দেখা লাগল!

এইসব দুষ্টামি করার কারণে 1 কেও লগারিদমের এলিট গোষ্ঠীতে রাখা সম্ভব হল না।

তাহলে শর্ত নিয়ে আর মাথা ব্যাথা নেই; তবে একটা খেয়াল করার মত বিষয় হল শর্ত কিন্তু শুধু ভিত্তির (base) জন্য; সূচক এর জন্য কোন শর্ত নেই।

এদিকে সূচকের কোন শর্ত না থাকাতে 0 কিন্তু যেকোন সময়ে সূচকে বসে ঝামেলা পাকিয়ে দিতে পারে (আইন কানুন না থাকলে যা হয় আর কি

), এবং দিয়েছেও,

loga (0) = ?

এটা কি হবে? যেহেতু 0 আছে , তাই by default 

অসঙ্গায়িত হয়ে যাবে ?
নাহ…অন্য কিছু…অপ্রত্যাশিত কিছু
…ভেবে বের কর…
★

ঝটপট জেনে নাও....

★