যেকোনো সংখ্যার বর্গ বের করে ফেলো-(JUST IN 10s)!

ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করার খুব কার্যকর একটি টেকনিক!

খেয়াল করুন- প্রথমে যখন নিচের টেকনিকটি পড়বেন তখন হয়ত কারো কাছে একটু ঝামেলার মনে হতে পারে কিন্তু ৩/৪ টি অংক করলে দেখবেন আসলেই বিষয়টি অনেক মজার। ৩০ থেকে ৭০ পর্যন্ত যে কোন সংখ্যার বর্গ (square) বের করতে মাত্র ১০/১২ সেকেন্ড লাগবে!

যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন সেটি যদি ৫০ এর চেয়ে বড় হয় তাহলে যত বেশি বড় হবে তার সাথে ২৫ কে যোগ করতে হবে তখন যা পাওয়া যাবে তা হল প্রথম দুটি অংক। তারপর ৫০ আর ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ হবে শেষ দুটি অংক (দুই অংকের বেশি বা কম হলে কি করবেন তা পরে বলা হয়েছে)

১. ৫৫ এর বর্গ কত?

Step-1: ২৫+৫=৩০ (যেহেতু ৫৫ হল ৫০ এর চেয়ে ৫ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ৫ যোগ করা হল)

Step-2: ৫*৫=২৫ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)

তাহলে ৫৫ এর বর্গ হল ৩০২৫।

২. ৫৯ এর বর্গ কত?

Step-1: ২৫+৯=৩৪ (প্রথম দুটি অংক)

Step-2: ৯*৯=৮১ (শেষ দুটি অংক)

সুতরাং ৫৯ এর বর্গ হল ৩৪৮১।

৩. ৫৩ এর বর্গ কত?

Step-1: ২৫+৩=২৮ (যেহেতু ৫৩ হল ৫০ এর চেয়ে ৩ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ৩ যোগ করা হল)

Step-2: ৩*৩=৯ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)

খেয়াল করুন, এখানে শুধু ৯ বসালে হবে না কারণ ৩২ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গ হল চার অংক বিশিষ্ট। তাই ৯ এর আগে একটা ০ বসাতে হবে।

তাহলে ৫৩ এর বর্গ হল ২৮০৯।

৪. ৬২ এর বর্গ কত?

Step-1: ২৫+১২=৩৭ (যেহেতু ৬২ হল ৫০ এর চেয়ে ১২ বেশি তাই ২৫ এর সাথে ১২ যোগ করা হল)

Step-2: ১২*১২=১৪৪ (যেহেতু পার্থক্যের বর্গ করতে হবে)

এখানে খেয়াল করুন, ৩২ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সকল সংখ্যার বর্গ হল চার অংক বিশিষ্ট। তাই প্রথম দুটি সংখ্যা হল ৩৭ কিন্তু তারপর যদি ১৪৪ বসাই তাহলে সেই বর্গটি ৫ অংকবিশিষ্ট সংখ্যা হয়ে যাবে যা সম্ভব নয়। সেজন্য শেষের ২ অংক অর্থাৎ ৪৪ বসিয়ে তার আগের ১ কে প্রথম দুই অংকের অর্থাৎ ৩৭ এর সাথে যোগ করতে হবে। তাহলে ৬২ এর বর্গ হবে ৩৮৪৪।

আবার যে সংখ্যার বর্গ নির্ণয় করবেন সেটি যদি ৫০ এর চেয়ে ছোট হয় তাহলে যত ছোট হবে ২৫ থেকে তত বিয়োগ করতে হবে তখন যা পাওয়া যাবে তা হল প্রথম দুটি সংখ্যা। তারপর ৫০ আর ঐ সংখ্যার পার্থক্যের বর্গ হবে শেষ দুটি সংখ্যা।

৫. ৪৮ এর বর্গ কত?

Step-1: ২৫-২=২৩ (প্রথম দুটি অংক)

Step-2: ২*২=০৪ (শেষ দুটি অংক)

সুতরাং ৪৮ এর বর্গ হল ২৩০৪।

৬. ৪২ এর বর্গ কত?

Step-1: ২৫-৮=১৭ (প্রথম দুটি অংক)

Step-2: ৮*৮=৬৪ (শেষ দুটি অংক)

সুতরাং ৪২ এর বর্গ হল ১৭৬৪।

৭. ৩০ এর বর্গ কত?

Step-1: ২৫-২০= ৫

Step-2: ২০*২০=৪০০ (যেহেতু ৪০০ সংখ্যাটি ৩ অংকবিশিষ্ট হয়ে গেছে তাই শেষের দুটি অংক বসবে আর প্রথম অংকটিকে অর্থাৎ ৪ কে আগের মত ৫ এর সাথে যোগ করে নিতে হবে)

সুতরাং ৩০ এর বর্গ হল ৯০০।

জানার আছে অনেক কিছু-ত্রিভুজ(TRIANGLE)

ত্রিভুজ নিয়ে কিছু কথাঃ

================

ত্রিভুজ হল সমতলের উপর অঙ্কিত একটি চিত্র যা তিনটি সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ।

ত্রিভুজের শ্রেণীবিভাগঃ-

★যদি ত্রিভুজের তিনটি বাহুই অসম হয়, তবে একে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।
★আর কেবল দুই বাহু সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণগুলি সমান।
★তিনটি বাহুই সমান হলে তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলা হয়। সমবাহু ত্রিভুজের সবগুলি কোণ সমান।

★যে ত্রিভুজের একটি কোন সমকোণ তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

 সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুর নাম অতিভুজ। 

পিথাগোরাসের বিখ্যাত উপপাদ্য অনুযায়ী সমকোণীত্রিভুজের অতিভুজের বর্গ এর সমকোণ-সংলগ্ন দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সমান। অর্থাৎ c^2=a^2+b^2

ত্রিভুজের ভিতরের কোনগুলিকে অন্তঃস্থ কোণ বলে, আর ত্রিভুজের বাহুগুলিকে বাড়িয়ে দিয়ে যে কোণগুলি পাওয়া যায়, তাদেরকে হলে বহিঃস্থ কোণ। ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°। এছাড়াও, যেকোন বহিঃস্থ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

ত্রিভুজের কোন শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত আঁকা রেখাকে বলা হয় ত্রিভুজটির একটি মধ্যমা। ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা একই বিন্দুতে ছেদ করে এবং এটি প্রতিটি মধ্যমার শীর্ষবিন্দু থেকে দুই-তৃতীয়াংশ দূরত্বে অবস্থিত। ত্রিভুজের কোন শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বকে ঐ ত্রিভুজের উচ্চতা বলে।

দুইটি ত্রিভুজকে সর্বসম বলা হয় যদি এগুলি নিচের তিনটি শর্তের সেটের যেকোনটি পূরণ করে: 

• (১) একটি ত্রিভুজের এক বাহু ও দুইটি কোণ অন্যটির অনুরূপ বাহু ও দুইটি কোনণর সমান;
• (২) কোন একটি ত্রিভুজের দুই বাহু এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ অন্য ত্রিভুজটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান;
• (৩) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান।

যদি একই সমতলে অবস্থিত দুইটি ত্রিভুজকে নিখুঁতভাবে একটির উপর আরেকটিকে বসিয়ে দেয়া যায়, তবে তারা সরাসরি সর্বসম। আর যদি বসানোর আগে একটিকে উল্টে নিতে হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি বিপরীতভাবে সর্বসম।

যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির সবগুলি কোণ অন্যটির সবগুলি কোণের সমান হয়, তবে তাদেরকে সদৃশ ত্রিভুজ বলা হয় এবং এদের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ-

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এর ভূমি (b) ও এই ভূমির উপর অঙ্কিত উচ্চতার (h) গুণফলের অর্ধেক । যেকোন বাহুকেই ভূমি ধরা যায়। যদি ত্রিভুজটি সমবাহু হয়, তবে এর ক্ষেত্রফল , যেখানে a যেকোন বাহুর দৈর্ঘ্য। 

যদি কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b এবং c হয়, তবে গ্রিক গণিতবিদ আর্কিমিডিসের দেয়া সূত্র অনুযায়ী এর ক্ষেত্রফল,S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},যেখানে;sত্রিভুজের পরিসীমার অর্ধেক s = ½ (a + b + c)।

ত্রিকোণমিতির ইতিহাস.......

ত্রিকোণমিতির ইতিহাস

================

ত্রিকোণমিতি গণিতের একটি শাখা, যাতে ত্রিভুজের কোণ, বাহু ও তাদের মধ্যকার সম্পর্ক ব্যবহার করে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করা হয়।

ত্রিকোণমিতি শব্দের ইংরেজি প্রতিশব্দ হচ্ছে Trigonometry। এই শব্দটি আবার গ্রিক শব্দ trigōnon "ত্রিভুজ" এবং metron "পরিমাপ" থেকে উদ্ভূত হয়েছে।

ত্রিকোণমিতির অপেক্ষকগুলো বেশ গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এগুলোর মাধ্যমে বিভিন্ন মানের পাল্লার প্রতিরূপ দেয়া যায় বা বারবার পুনরাবৃত্ত হয়। এগুলো পুনরাবৃত্ত প্রতিভাসের প্রতিরূপে যেমন দোলকের গতি অথবা পরিবর্ত্য তড়িৎ প্রবাহের বিশ্লেষণে উদ্ভূত হয়। ত্রিকোণমিতির গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার রয়েছে। এটি ব্যবহার করে দৈর্ঘ্যের এক বিশাল জালি পাওয়া যায় যা সাধারণ পরিমাপ পদ্ধতি ব্যবহার করে মাপা যায় না।

ত্রিকোণমিতির জন্ম প্রাচীন মিসরে হলেও এর উদ্ভাবক কিন্তু একজন গ্রিক। খ্রিষ্টপূর্ব দ্বিতীয় শতকে গ্রিক জ্যোতির্বিদ হিপারচুস গ্রহ-নক্ষত্র বিচার করতে গিয়ে এই বিদ্যার চর্চা শুরু করেন। তিনি কাজ করতেন আলেকজান্দ্রিয়ার একটি জাদুঘরে। তবে আমরা বর্তমান যুগে ‘সাইন’, ‘কস’, ‘থেটা’, ‘কোসাইন’, ‘কোসেক’ ইত্যাদি দিয়ে যে ত্রিকোণমিতি করে থাকি, তার উদ্ভাবক কিন্তু মুসলিম গণিতবিদেরা। নবম খ্রিষ্টাব্দে আবু আবদুল্লাহ আল-বাতানি, হাবাস আল-হাসিব ও আবুল ওয়াফা আল-বুজানি নামের তিন গণিতবিদের যৌথ উদ্যোগের ফসল আজকের ত্রিকোণমিতি। তাঁরা কিন্তু গ্রিক জ্যোতির্বিদ হিপারচুসের মূল ধারণার ওপর ভিত্তি করেই এ বিষয়টিকে আরও আধুনিক করে গড়ে তুলেছিলেন।

★☆★

THANKS 

সূচক ও লগারিদম(মিথ,বাস্তবতা এবং আরো)!☆L&E☆

সূচক ও লগারিদম==============

দাবার আবিষ্কার নিয়ে একটা বিখ্যাত মিথ আছে, অনেকটা এরকম:

"দাবা খেলা আবিষ্কারের পর (ধারণা করা হয় ইন্ডিয়াতে, কেউ কেউ মনে করেন চীনে) এর আবিষ্কারক সর্ব প্রথম সেখানকার রাজাকে দাবা’র সরঞ্জাম উপহার দেন এবং খেলার পদ্ধতি বুঝিয়ে দেন। এরপর থেকে সেই রাজা পুরোপুরি মজে যায় দাবার নেশায়; সারাদিন দাবা নিয়েই পড়ে থাকতেন। তো রাজা ঠিক করলেন আবিষ্কারককে এত চমৎকার একটা খেলা আবিষ্কারের জন্য পুরস্কৃত করবেন; তাই তিনি আবিষ্কারককে ডেকে এনে বললেন, “বল, কি চাও তুমি? যা চাইবে ,তাই দিব।” আবিষ্কারকও একটু রসিক ও গনিতবিশারদ , সে ভাবল মজা নেই একটু রাজার সঙ্গে, “ আমি যা চাই আপনি তা কখনই দিতে পারবেন না।” তাও রাজারা জোরাজুরিতে সে খোলাসা করে বলল, “রাজা মশাই, আপনি আমাকে প্রতিদিন কিছু ধানের দানা দিবেন, তবে শর্ত হচ্ছে প্রথমদিন ১ টা , ২য় দিন ২টা, ৩য় দিন ৪টা, ৪র্থ দিন ৮ টা …এভাবে দ্বিগুন করে বাড়তে বাড়তে দাবার ছকের ৬৪ ঘরের জন্য ৬৪ দিন দানা দিবেন, যদি পারেন আর কি

?” রাজা ভাবল এ আর এমন কী? তখনই খাজাঞ্জিকে ডেকে আদেশ দিয়ে দিলেন। কিন্তু বেশিদিন দেয়া সম্ভব হল না, কয়েকদিনের মাথায়ই পুরো রাজ্য ভান্ডার শেষ! রাজা হার মানল গনিতবিশারদের কাছে, গণিতবিদও ফিরিয়ে দিল ধান। অত:পর তাহারা সুখে শান্তিতে বসবাস করিতে লাগিল।"

রাজার ভান্ডার শেষ! এটা কি করে হল? আসলেই তাই হবে; প্রতিদিন দিগুন করে বাড়াতে থাকলে ৩০ দিনের মাথায় ধানের পরিমাণ দাঁড়াবে ১০৭ কোটি! আর ৬৪ দিন পরে সংখ্যা দাঁড়াবে… না,এ সংখ্যা লিখা সম্ভব নয়; শুধু জেনে রাখুন সেই পরিমাণ ধান দিয়ে আমাদের গ্যালাক্সির মত শত শত গ্যালাক্সি ঢেকে দেয়া সম্ভব!

এটাই সূচকের কেরামতি, আপনি বুঝার আগেই হুট করে আপনার পকেট কেটে চলে যাবে।



আসলে দৈনন্দিন জীবনের হিসেব নিকেশ সাধারনত ঐকিক নিয়ম কিংবা সমানুপাত হয় বলে, হুট করে সূচকের ক্ষমতা সম্বন্ধে আন্দাজ করা যায় না। তবে মহাবিশ্বের বড় বড় পরিসরে কিংবা অনু পরমাণুর ক্ষুদ্র জগতে খুবই কাজের জিনিস এই সূচক।

সাধারন সূচকীয় সমীকরণ(exponential equation) :y=a x ; এখানে, y হল x এর ফাংশন।

এই সূচক দিয়ে পৃথিবী, সূর্য, গ্যালাক্সির অতি বৃহৎ ব্যাস, বেগ থেকে শুরু করে অনু-পরমানুর অতি ক্ষুদ্র ব্যাস সবই খুব সহজেই প্রকাশ করা যায়। আবার সবকিছু সূচক দিয়ে প্রকাশ করাও বেশ কষ্টকর, সে ক্ষেত্রে আমরা লগারিদম ব্যবহার করি। 

লগারিদম দেখার আগে,বলুন তো, a 2 =100 হলে a এর মান কত? খুব সহজ তাই না? √a করে দিয়ে… কিন্তু যদি বলি 10x = 100 হলে, x কত? এটাও তো সোজা ( নাকি মুখস্ত)। 

তাহলে এবার বলুন, 10 x = 110 হলে x এর মান কত? এটা বের করা কিন্তু খুব একটা সোজা নয়। এখানেই লগারিদম বেশি ফলপ্রসূ।

লগারিদম (Logarithm) এর সংজ্ঞানুযায়ী,

y=a x হলে,

x=log a like emoticon (শর্ত : a>0, a≠1)

এখানে, x হল y এর a ভিত্তিক লগারিদম; a হল লগারিদম এর বেস (Base) বা ভিত্তি।

এই লগারিদম আসলে কি বোঝায়? x=log a like emoticon বলতে বুঝি, a এর ঘাত/সূচক (পাওয়ার) x হলে তা y এর সমান হবে। যেমন, log10 (100)=2 ; বলতে বুঝি, 10 এর ঘাত (পাওয়ার) 2 হলে 100 হবে, 100=10 2 (y=a x ) .

অর্থাৎ, y=a x এবং x=log a like emoticon একই সমীকরণ। প্রথমটিতে y কে x এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে, একে বলা হয় সূচকীয় (exponential) ফাংশন। পরেরটিতে x কে y এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হয়েছে, একে বলা হয় লগারিদমিক (logarithmic) ফাংশন। তাহলে আমরা y=a x এর বিপরীত (Inverse) ফাংশন বের করতে পারি,

y=log a (x) (২য় ফাংশনে x এর পরিবর্তে y এবং y পরিবর্তে x বসিয়ে)।



একটা ব্যাপার খেয়াল করেছো কিনা যে লগারিদম ফাংশনে একটা শর্ত জুড়ে দেয়া আছে? সুচকীয় ফাংশনে কিন্তু কোন শর্ত ছিল না, তাহলে এখানে শর্তের প্রয়োজন কেন?

শর্তানুযায়ী লগারিদমের ভিত্তি (base) কখনও

ঋণাত্মক হতে পারে না, 1 ও হতে পারে না। ঋণাত্মক হলে কি সমস্যা ?

log –2 (-8)= 3 ( -2 এর ঘাত 3 হলে -8 ) কিংবা log-2 (4)=2; এইতো ঋণাত্মক হল!

আচ্ছা, তাহলে এটা কি হবে? log -2 (-4)= ? (-2 এর ঘাত কত হলে -4 হবে?)। আসলে, এটার বাস্তব সংখ্যায় কোন সমাধান নেই। তাহলে দেখা যাচ্ছে, একই ভিত্তির জন্য আমরা কিছু কিছু সংখ্যার জন্য সমাধান পেলেও সব সংখ্যার ক্ষেত্রে পাচ্ছি না। একটু ঝামেলা হয়ে গেল না? আর আমরা তো জানিই গনিত কখনই কোন ঝামেলাকে বরদাস্ত করতে পারে না। তাই গনিত করল কি, পুরো ঋণাত্মক সংখ্যার সেটই বাদ দিয়ে দিল লগারিদম হতে। অর্থাৎ কিছু কিছু ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম সম্ভব হওয়ার পরেও তারা লগারিদম হতে বাদ পড়ল; তাদের দোষ একটাই, তারা ঋণাত্মক (অসৎ সঙ্গে সর্বনাশ)। সেই সাথে বাদ পড়ল অঋণাত্মক( ধনাত্মকও না কিন্তু) সংখ্যা 0 ও। কারণ,

log0 (4)= ? অর্থাৎ 0 এর ঘাত কত হলে 4 এর সমান হবে! এও কি সম্ভব!

আচ্ছা তাহলে 1 কি দোষ করল, ওকেও কেন বাদ দেয়া হল? দেখা যাক,

log1 (4)= ? ; 1 এর ঘাত কত হলে 4 হবে? আদৌ সম্ভব? কিংবা,

log1 (1)= ? ; 1 এর ঘাত কত হলে 1 হবে? আরে 1 এর ঘাত যেকোন সংখ্যা হলেই তা 1 হবে, তার মানে এর সমাধান সকল সংখ্যা? তাহলে সকল সংখ্যাই সমান? শেষমেষ এও দেখা লাগল!

এইসব দুষ্টামি করার কারণে 1 কেও লগারিদমের এলিট গোষ্ঠীতে রাখা সম্ভব হল না।

তাহলে শর্ত নিয়ে আর মাথা ব্যাথা নেই; তবে একটা খেয়াল করার মত বিষয় হল শর্ত কিন্তু শুধু ভিত্তির (base) জন্য; সূচক এর জন্য কোন শর্ত নেই।

এদিকে সূচকের কোন শর্ত না থাকাতে 0 কিন্তু যেকোন সময়ে সূচকে বসে ঝামেলা পাকিয়ে দিতে পারে (আইন কানুন না থাকলে যা হয় আর কি

), এবং দিয়েছেও,

loga (0) = ?

এটা কি হবে? যেহেতু 0 আছে , তাই by default 

অসঙ্গায়িত হয়ে যাবে ?
নাহ…অন্য কিছু…অপ্রত্যাশিত কিছু
…ভেবে বের কর…
★

ঝটপট জেনে নাও....

★

Magic Of Mathematics-মজার একটা খেলা!

গণিত আসলে খুব মজার একটা খেলা। শুধু মজাটা খুঁজে নিতে হয়।এটাই আমরা দেখবো এই পোস্টে!

Magic Of Mathematics 

১২৩৪৫৬৭৮৯ সংখ্যাটা একটু ভালো করে দেখ। হ্যাঁ, ১ থেকে ৯ পর্যন্ত অংক নিয়ে সাজানো হয়েছে এই সংখ্যাটি।আচ্ছা, তোমাদের কি মনে হচ্ছে না ১ থেকে ৯ পর্যন্ত একবার অংক বলেছি আবার ১২৩৪৫৬৭৮৯ কে সংখ্যা বলেছি কেন? বলছি কারণ দুটো আসলে আলাদা জিনিস। ০,১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯ এগুলোকে অংক বলে। আর অংকগুলোকে একসঙ্গে বলে সংখ্যা। যেমন ১১ একটি সংখ্যা।

আর আমরা যে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ বা অন্যান্য হিসাব নিকাশ করি এগুলো সব মিলিয়েই হচ্ছে গণিত। তাহলে আমরা যে বলি আমি অংক করছি বা কাল আমার অংক পরীক্ষা এসব কথা একদমই ভুল। এখানে অংকের স্থানে শব্দটি হবে ‘গণিত’। 

LET'S PLAY THE GAME OR SEE THE MAGIC!

যা বলছিলাম, ১২৩৪৫৬৭৮৯ এই সংখ্যাটির কথা। এটি একটি মজার সংখ্যা। কারণ এতে ধারাবাহিকভাবে ৯টি অংক আছে। অথবা ধর, ৯৮৭৬৫৪৩২১। এটি প্রথমটার ঠিক উলটো একটি সংখ্যা।

আবার ১১১১১১১ বা ২২২২২২ এ সংখ্যাগুলোও মজার। একই অংক আসছে বারবার। একে উলটো করে লিখলেও কিন্তু একই সংখ্যা আসবে।

৯ এর নামতা আমরা সবাই জানি নিশ্চয়ই? এর ফলগুলো চট করে বলে দাও তো! ৯, ১৮, ২৭, ৩৬, ৪৫, ৫৪, ৬৩, ৭২, ৮১, ৯০। এখন আমরা এই সংখ্যাগুলো নিয়েই খেলা করব। তবে, আমরা শেষের সংখ্যাটি আজ বাদই রাখব।

১ থেকে ৯ এর মাঝের অংকগুলো থেকে ৮ কে একটু বাদ দিয়ে আমরা লিখতে পারি, ১২৩৪৫৬৭৯। এই সংখ্যার সাথে ৯ এর নামতার ফলগুলোকে এক এক করে গুণ করে দেখ দেখি কী আসে!

১২৩৪৫৬৭৯ X ৯ = ১১১১১১১১১

১২৩৪৫৬৭৯ X ১৮ = ২২২২২২২২২

১২৩৪৫৬৭৯ X ২৭ = ৩৩৩৩৩৩৩৩৩

১২৩৪৫৬৭৯ X ৩৬ = ৪৪৪৪৪৪৪৪৪

১২৩৪৫৬৭৯ X ৪৫ = ৫৫৫৫৫৫৫৫৫

১২৩৪৫৬৭৯ X ৫৪ = ৬৬৬৬৬৬৬৬৬

১২৩৪৫৬৭৯ X ৬৩ = ৭৭৭৭৭৭৭৭৭

১২৩৪৫৬৭৯ X ৭২ = ৮৮৮৮৮৮৮৮৮

১২৩৪৫৬৭৯ X ৮১ = ৯৯৯৯৯৯৯৯৯

কী চমৎকার একটা সিরিজের মতো হয়েছে দেখ! সংখ্যাগুলো দেখতেই ভালো লাগছে তাই না?

৮ কে বাদ দিয়েছি তাই বুঝি মন খারাপ হল? চল ৮ নিয়ে আরেকটা খেলা দেখে নেই।

৯ X ৯ + ৭ = ৮৮

৯৮ X ৯ + ৬ = ৮৮৮

৯৮৭ X ৯ + ৫ = ৮৮৮৮

৯৮৭৬ X ৯ + ৪ = ৮৮৮৮৮

৯৮৭৬৫ X ৯ + ৩ = ৮৮৮৮৮৮

৯৮৭৬৫৪ X ৯ + ২ = ৮৮৮৮৮৮৮

৯৮৭৬৫৪৩ X ৯ + ১ = ৮৮৮৮৮৮৮৮

৯৮৭৬৫৪৩২ X ৯ + ০ = ৮৮৮৮৮৮৮৮৮

৯ থেকে ধারাবাহিকভাবে এর আগের অংকগুলো একটা করে বসিয়ে এর সাথে ৯ গুণ, আর তার সাথে ধারাবাহিকভাবে ৭ থেকে ০ পর্যন্ত যোগ। সবগুলোর ফলের দিকে তাকিয়ে দেখ!

ধন্যবাদ
কেমন লাগলো জানাবা!
😀

REPRESENTING ENGLISH ALPHABETS THROUGH MATHEMATICAL GRAPH!

Graphical representation of anything makes it more facile and amusing to presume!

LET'S DO SOMETHING NEW WITH GRAPH!

A few weeks ago one of my crazy friend had drawn graphs for I LOVE YOU with some simple trigonometrical and other equations of circle,complex number etc.
Then I got an idea of drawing graphs for all English Alphabetss so that we can turn any word into some mathematica equations. Now if we can draw graphs by proper equationss for 26 English alphabets, it will be amazing to represent any English word with simple equations and graphs.

Just Like This I wanna See Everything In Math

LET'S DO SOMETHING NEW WITH GRAPH 

But it's not easy for me to find proper equations for all alphabets.....

So I need your help.
What you have to do is, try to give me proper equations and comment here or inbox me.
All crazy math lover come and join  help me to represent everything graphically.

FUN WITH MATHEMATICS

https://www.desmos.com/calculator/l8u2vigxyb

MYINAspiring Astronaut

THE HAND TRICKS-ত্রিকোণমিতির অনুপাত মনে রাখার সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি!

ত্রিকোণমিতির অনুপাত মুখে মুখে মনে রাখার সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি!

আমাদের জীবনে সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহার অনেক।আমাদের পরিবেশে কল্পনায় হাজারো সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যেতে পারে।এই সমকোণী ত্রিভুজ ব্যবহার করে,আমরা গাছে না উঠেও সহজে বের করতে পারি গাছের উচ্চতা,বের করতে পারি নদীর প্রস্থ থেকে শুরু করে দূরবর্তী গ্রহ নক্ষত্রের দূরত্ব।আর এই গাণিতিক কৌশলের ভিত্তিতেই সৃষ্টি হয়েছিল ত্রিকোনমিতি নামক গণিতের বিশেষ শাখা। এটি মূলত ৩ কোণের পরিমাপের বিষয় নিয়েই সৃষ্টি।

আমরা সকলেই জানি যে,যেকোন কোণের (সমকোণ ব্যাতিত) ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায়।যথাঃsin@,cos@,tan@,cosec@,sec@ ও cot@.
বি.দ্রঃ@ কে θ হিসেবে ব্যবহার করা হয়েছে..
আমরা পাঠ্যাবইয়ের বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করবার জন্য সাধারনত (০,৩০,৪৫,৬০,৯০)এই ৫ টি কোণের জন্য বাহুদ্বয়ের অনুপাত বের করি এবং এগুলো দিয়েই বিভিন্ন বাস্তবিক সমস্যার সমাধান করি। তবে সমস্যা হলো ৬ টি ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ৫ টি কোণের জন্য অনুপাতসমূহ(৩০ টি) মুখস্থ করতে অনেকেরই সমস্যা হয়।
১.অনেক ছাত্রছাত্রী তো মুখস্থ না করেই ক্যালকুলেটর বা বইয়ের সাহায্য নিয়ে পড়াশোনা শেষ করে দিতে চাই
২.অনেকেই আবার মুখস্থ করেও ভুলে যায়।
৩.অনেকের ভালোভাবে মুখস্থ থাকলেও পরীক্ষার সময়ে সন্দেহ সৃষ্টি হয় বা গুলিয়ে দিয়ে ভুল করে দেয়।

তাই খুব সহজেই ত্রিকোণমিতিক এই অনুপাতগুলো মনে রাখার কৌশল খুবই জরুরী। চলুন এবার তবে সেই কৌশল শিখা যাক যে কি করে সহজেই খুবই অল্প সময়ে এই অনুপাতগুলো বের করা যায়।

এবার "অনিকের আড়াই কিলোর হাত" এর ছবিতে লক্ষ্য করেছেন নিশ্চয়ই যে আমি ৫ টি আঙুলকে (০,৩০,৪৫,৬০,৯০) কোণের চিহ্ন হিসেবে ধরেছি। এবার চলুন নিজ নিজ হাত দিয়ে অনুপাতগুলো বের করি।আমি এখানে "অনিকের আড়াই কিলোর হাত" ব্যবহার করছি। আপনারা আপনাদের হাত ব্যবহার করিয়েন। প্রথমে sin এর ৫টি কোণের অনুপাত বের করি চলুন। নিজ নিজ হাত দিয়ে আঙুলগুলোকে আমার হাতের মতো করে ভাবুন।এই sin এর অনুপাতগুলো বের করার জন্য যে কোণের মান বের করবেন সেই কোণ অনুযায়ী আমার ছবির মতো আঙুল সিলেক্ট করুন।তারপর দেখুন যে ঐ আঙুলের বাম পাশে কতটি আঙুল আছে।বামপাশে যতগুলে আঙুল থাকবে, তার বর্গমূল করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই, ঐ কোণের মান পেয়ে যাব আমরা।

উদাহরণঃ এবার sin0 ডিগ্রী এর মানের জন্য আমরা ভাবি।আমার হাতের ০ লেখা জায়গার বামপাশে কি আর কোন আঙুল আছে..? না,নেই।(সুতরাং,০ টি আঙুল আছে) তার মানে ০ কে বর্গমূল করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই sin0 এর মান পাওয়া যাবে। সুতরাং,

• sin0= √ 0/2 =0 অনুরুপভাবে,
• sin30= √ 1/2 =1/2
• sin45= √ 2/2 = √2/ √2* √2 =1/ √2
• sin60 = √3/2
• sin90= √4/2=2/2=1

sin এর অনুপাতগুলো পেয়ে যাবার মানে cosec এর অনুপাতগুলোও পেয়ে গেছি। কারন, sin@=1/cosec@ তাই,
cosec0=1/0=অনির্ণেয়
cosec30=2....(এভাবে বের করতে হবে) .
আমরা sin এর অনুপাতগুলো বের করতে শিখলাম।এবার আমরা cos এর অনুপাতগুলো বের করতে শিখব... cos এর কোণের অনুপাতসমূহ বের করার পদ্ধতি sin এর মতোই,শুধুমাত্র একটু উল্টা। cos এর ক্ষেত্রেও আমার ছবির মতো আঙুল সিলেক্ট করতে হবে।এরপর যে কোণের মান বের করব সেই কেণ সিলেক্ট করা আঙুলের ডানপাশের আঙুল সংখ্যা হিসেব করে বর্গমূল করার পরে ২ দিয়ে ভাগ করলেই,উক্ত কোণের মান পাওয়া যাবে।

উদাহরণঃ এবার cos0 ডিগ্রী এর মানের জন্য আমরা ভাবি।আমার হাতের ০ লেখা জায়গার ডানপাশে কি আর কোন আঙুল আছে..? ৪ টি আঙুল আছে তার মানে ৪ কে বর্গমূল করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই cos0 এর মান পাওয়া যাবে।

• cos0= √4/2 =2/2 =1
• cos30= √3/2
• cos45 = √2/2= √2/ √2. √2=1/ √2
• cos60 = √1/2 =1/2
• cos90=0/2 =0

 এবার cos থেকে আমরা সহজেই sec এর কোণের অনুপাতগুলো বের করতে পারি। কারণ,cos@=1/sec@ অর্থ্যাৎ,sec=1 sec30=2/ √3(এভাবেই চলবে)
এখন আমরা sin ও cos এর মান থেকে tan এর কোণের অনুপাতগুলো বের করব।
আমরা জানি,tan@=sin@/cos@ সুতরাং,
tan0=sin0/cos0 ................. =0/1=০
tan30=sin30/cos30 =(1/2)/( √3/2) =1/√3এভাবে সহজেই tan এর অনুপাতগুলো বের করলাম)
এরপর cot@ =1/tan@ ব্যবহার করে সহজেই cot এর কোণের অনুপাতগুলোও বের করা যায়।

“দেখলেন তো কত্ত সহজেই নিজ নিজ হাত ব্যবহার করেই ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো বের করা সম্ভব।এখন তো আর ত্রিকোনমিতিক অনুপাতগুলো মুখস্থ করার দরকার নেই।গণিত এমনই এক জিনিস যাকে বাস্তবতার সাথে কল্পনা করতে পারলে খুব সহজেই সমস্যার সমাধান করা যায়।তাই নিজের চিন্তা-চেতনাকে অবশ্যই বৃদ্ধি করুন।”

WRITTEN BY

Anik Kumar Raj

COMPOSED BY

MYIN UDDIN